向量组及线性方程组的解

矩阵向量的运算

一个有序序列(a1, a2，…， an)的实数称为有序n元组。有两种常用的方法来表示R中的n元组，用行：文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/165623.html

文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/165623.html

或者用列：文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/165623.html

文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/165623.html

这两种情况都被称为向量组。文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/165623.html

我们设矩阵A，使得：文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/165623.html

文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/165623.html

是个m×n 阶矩阵, 是以列的形式列出 a1, a2, . . . , an. （每个ai是一个m个有序数）文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/165623.html

如果x是n维向量：文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/165623.html

文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/165623.html

那么A和向量组x的乘积为：

若线性方程组的常数项为b （是向量组）, 则方程组可写成为：

引理：如x, y都是n维向量，则A(x+y) = Ax+Ay.

定理：假设x1是线性方程组Ax =b的任意特解，且对应的齐次方程组Ax =0的解，那么对于Ax =b每个的解是这样的：

证明：假设也是Ax = b的一个解，则Ax = b，写入 = −。

然后x2 = x0 +x1利用上面的引理，我们计算Ax0 = A(x2−x1) = Ax2−Ax1 = b−b = 0

因此x0是相关齐次方程组AX = 0的解。

为了更好的理解线性方程组AX=B的解是一个特解加上齐次方程的一般解，我们做一道例题。

例题：求方程组的解，

解：利用高斯行消元法将增广矩阵化简，有：

所以用参数s,t表示解：

x1 = 4+2s−t,

x2 = 2+s+2t,

x3 = s,

x4 = t

因此线性方程组的形式可以写成：

上面的的特解是当s=0, t=0的时候有：

而齐次方程AX=O的解是：（解法参见齐次方程组的基解）

通过例题再次验证了非齐次方程

的通解= 对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解。